[7.x] 参数估计¶

点估计¶

设总体 \(X\) 的分布函数为 \(F(x;\theta)\)，\(\theta=(\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{k})\) 是未知的待估参数，\(X_1,X_2,...,X_n\) 是 \(X\) 的一个样本。点估计就是要对每一个未知参数 \(\theta_{i}\) 构造一个适当的统计量 \(\hat{\theta_{i}}=\theta_{i}(X_1,X_2,...,X_n)\)，用作对未知参数 \(\theta_{i}\) 的估计，称为 \(\theta_{i}\) 的估计量。

若已知样本的观察值为 \(x_1,x_2,...,x_n\)，则称 \(\hat{\theta_{i}}=\theta_{i}(X_1,X_2,...,X_n)\) 为 \(\theta\) 的一个估计值。

矩法¶

思想：用样本矩去估计相应的总体矩，换言之，用原点矩 \(A_k\) 去估计 \(\mu_{k}\)，用中心距 \(B_k\) 去估计 \(\nu_{k}\)。

具体步骤如下（假设有 \(k\) 个待求未知参数）：

1. 列出总体的前 \(k\) 阶矩
   \(\mu_{i}=E(X^i)=h_i(\theta_{1},\theta_{2},...,\theta_{k})\;\;,\;\;i=1,2,...,k\)；
2. 从方程组中解出这 \(k\) 个参数
   \(\theta_{i}=g_i(\mu_{1},\mu_{2},...,\mu_{k})\;\;,\;\;i=1,2,...,k\)；
3. 将上一步解出的参数的表达式中出现的总体矩用相应的样本矩替换
   \(\hat{\theta_{i}}=g_i(A_{1},A_{2},...,A_{k})\;\;,\;\;i=1,2,...,k\)；

值得注意的是：

• 如果方程中存在恒等式，则可以顺延求 \(\mu_{k+1},\mu_{k+2},...\)；
• 理论上任意 \(k\) 个关于 \(\mu_{i}\) 的方程组都可以，但考试要求前 \(k\) 个才算对；

极大似然法¶

思想：用“最像” \(\theta\) 真值的值去估计 \(\theta\)，换言之，在参数空间中找一个 \(\theta\)，使得 \(L(\theta)\) 达到最大。

具体步骤如下（若待估参数不止一个，则对每个待估参数 \(\theta_{i}\) 均执行如下操作）：

1. 构造似然函数 \(L(\theta)=L(\theta;x_1,x_2,...,x_n)=\prod_{i=1}^{n}f(x_i;\theta)\)；
2. 求解 \(\theta\)，使得 \(L(\theta)\) 达到最大值，称这个 \(\theta\) 为极大似然估计量，记作 \(\hat{\theta}\)；

求解似然函数最大值点的常用方法：

• 解似然方程 \(\frac{\partial L(\theta)}{\partial \theta_i}=0\)，检验极大值点；
• 或者也可以解对数似然方程 \(\frac{\partial \ln L(\theta)}{\partial \theta_i}=0\)，检验极大值点；
• 若 \(L(\theta)\) 关于某个 \(\theta_i\) 是单调的，则最大值在边界取得；

极大似然估计法的性质：

• 不变原则：设参数 \(\theta\) 的极大似然估计为 \(\hat\theta\)，若 \(g(\cdot)\) 为连续函数，则 \(g(\theta)\) 的极大似然估计为 \(g(\hat{\theta})\)；

估计量的评价准则¶

无偏性准则¶

若参数 \(\theta\) 估计量 \(\hat{\theta}=\theta(X_1,X_2,...,X_n)\) 的数学期望存在，且满足 \(E(\hat{\theta})=\theta\)，则称 \(\hat{\theta}\) 是 \(\theta\) 的一个无偏估计量或无偏估计(Unbiased Estimation)。

• 若 \(E(\hat{\theta})\not=\theta\)，则称 \(|E(\hat{\theta})-\theta|\) 为估计量 \(\hat\theta\) 的偏差；
• 若 \(\lim_{n\to+\infty}E(\hat{\theta})=0\)，则称 \(\hat{\theta}\) 是 \(\theta\) 的渐进无偏估计(Asymptotic Unbiased Estimation)；

有效性准则¶

设 \(\theta_1\) 和 \(\theta_2\) 是参数 \(\theta\) 的两个无偏估计，如果对于 \(\forall \theta\in\Theta\)，\(Var(\theta_1)\leq Var(\theta_2)\)，且不恒取等，则称 \(\theta_1\) 比 \(\theta_2\) 有效。

均方误差准则¶

\(E[(\hat\theta-\theta)^2]\) 是估计量 \(\hat\theta\) 的均方误差(Mean Square Error)，记为 \(Mse(\hat\theta)\)。

在均方误差准则下，估计量的均方误差越小越好。若 \(Mse(\hat\theta_1)\leq Mse(\hat\theta_2)\) 且不恒取等，则称 \(\hat\theta_1\) 优于 \(\hat\theta_2\)。

• 若 \(\hat\theta\) 是参数 \(\theta\) 的无偏估计量，则有 \(Mse(\hat\theta)=Var(\hat\theta)\)；
• 均方误差有分解式 \(E[(\hat\theta-\theta)^2]=Var(\hat\theta)+(E(\hat\theta)-\theta)^2\)；
• 均方误差准则常用于有偏估计量之间，或有偏估计量与无偏估计量之间的比较；实际应用中，有时均方误差准则比无偏性准则更加重要；

相合性准则¶

若对于 \(\forall \varepsilon >0\)，有 \(\lim_{n\to+\infty}P\{|\hat\theta_n-\theta|<\varepsilon\}=1\)，即 \(\hat\theta _n \xrightarrow{P}\theta\)，则称 \(\hat\theta_n\) 是 \(\theta\) 的相合估计量(Consistent Estimation)或一致估计量。

有如下定理：

• 设 \(\hat\theta_n\) 是 \(\theta\) 的一个估计量，若 \(\lim_{n\to \infty}E(\hat\theta)=\theta\)，\(\lim_{n\to\infty}Var(\hat\theta_n)=0\)，则 \(\hat\theta_n\) 是 \(\theta\) 的相合估计。

区间估计¶

点估计是由样本求出未知参数 \(\theta\) 的一个估计值 \(\hat{\theta}\)，而区间估计则要由样本给出参数 \(\theta\) 的一个估计范围，并指出该区间包含 \(\theta\) 的可靠程度。

下面给出区间估计的一些基本概念：

• 置信区间：设总体 \(X\) 的分布函数 \(F(x;\theta)\) 含有一个未知参数 \(\theta\)，对于给定的值 \(\alpha\)，如果有两个统计量 \(\theta_{L}=\theta_{L}(X_1,X_2,...,X_n)\)，\(\theta_{U}=\theta_{U}(X_1,X_2,...,X_n)\)，\(\theta_{L}<\theta_{U}\)，使得 \(P\{ \theta_{L}(X_1,X_2,...,X_n) < \theta < \theta_{U}(X_1,X_2,...,X_n) \}\geq 1-\alpha \;\;,\;\; \forall \theta \in \Theta\)，则称随机区间 \([\theta_{L},\theta_{U}]\) 是 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的双侧置信区间，简称置信区间；
• 置信下限和置信上限：分别是 \(\theta_{L}\) 和 \(\theta_{U}\)；
• 置信度（置信水平）：\(1-\alpha\)；
• 单侧置信区间：在置信区间的定义中，如果修改为 \(P\{ \theta_{L}(X_1,X_2,...,X_n) < \theta \}\geq 1-\alpha \;\;,\;\; \forall \theta \in \Theta\)，则称随机区间 \([\theta_{L},+\infty]\) 是 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的单侧置信区间；
  • 相应地，我们还可以定义单侧置信上限，以及具有单侧置信上限的单侧置信区间 \((-\infty,\theta_{U})\)；

双侧置信区间和单侧置信区间的关系：

设 \(\theta_{L}=\theta_{L}(X_1,X_2,...,X_n)\)，\(\theta_{U}=\theta_{U}(X_1,X_2,...,X_n)\) 分别是 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha_{1}\) 和 \(1-\alpha_{2}\) 的单侧置信下限及上限，且对于任何样本都满足 \(\theta_{L}<\theta_{U}\)，则 \((\theta_{L},\theta_{U})\) 是 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha_{1}-\alpha_{2}\) 的双侧置信区间。

评价区间估计的原则¶

• 置信度原则：
  希望随机区间 \([\theta_{L},\theta_{U}]\) 包含真值 \(\theta\) 的概率越大越好；
• 精确度原则：
  可以用随机区间的平均长度 \(E(\theta_{U}-\theta_{L})\) 去衡量，希望其越短越好；并称二分之一区间的平均长度为置信区间的误差限；
• 这是一对矛盾的标准，现实应用中我们通常希望在保证置信度的前提下，尽可能提高精确度；

枢轴量法¶

枢轴量法是寻求区间估计的常用方法。

枢轴量是样本 \(X=(X_1,X_2,...,X_n)\) 和待估参数 \(\theta\) 的函数，即 \(G=G(X_1,X_2,...,X_n;\theta)\)，并且要求 \(G\) 的分布已知且不依赖于任何未知参数。

具体步骤如下：

1. 构造枢轴量 \(G(X;\theta)\)；
2. 对于给定的置信度 \(1-\alpha\)，确定两个常数 \(a,b\)，使得：
   \(P\{ a<G(X;\theta)<b \}\geq 1-\alpha\)；
3. 若能从 \(a<G(X;\theta)<b\) 反解出不等式：
   \(\theta_{L}(X)<\theta<\theta_{U}(X)\)，
   那么 \([\theta_{L},\theta_{U}]\) 就是 \(\theta\) 的置信水平为 \(1-\alpha\) 的置信区间，也称同等置信区间；

值得注意的是：

• 若要求单侧置信限，只需要将 \(P\{ a<G(X;\theta)<b \}\geq 1-\alpha\) 相应地改为 \(P\{ a<G(X;\theta) \}\geq 1-\alpha\) 或 \(P\{ G(X;\theta)<b \}\geq 1-\alpha\) 即可；
• 枢轴量和统计量的区别：
  • 枢轴量是样本和待估参数的函数，其分布不依赖于任何未知参数；
  • 统计量只是样本的函数，其分布常依赖于未知参数；

正态总体参数的区间估计¶

单个正态总体的情形¶

设 \(X_1,X_2,...,X_n\) 来自总体 \(N(\mu,\sigma_{2})\)，\(\overline{X}\) 和 \(S^2\) 分别为样本均值和样本方差，置信度为 \(1-\alpha\)：

1. \(\sigma^2\) 已知时 \(\mu\) 的置信区间：

取枢轴量 \(\frac{\overline X-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0,1)\)，置信区间为 \(\left(\overline X-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2},\overline X + \frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha/2}\right)\)。

若只考虑单侧置信限，以单侧置信下限为例，单侧置信区间为 \(\left(\overline X-\frac{\sigma}{\sqrt{n}}z_{\alpha},+\infty\right)\)。

2. \(\sigma^2\) 未知时 \(\mu\) 的置信区间:

取枢轴量 \(\frac{\overline X-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t(n-1)\)，置信区间为 \(\left(\overline X - \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1),\overline X + \frac{S}{\sqrt{n}}t_{\alpha/2}(n-1)\right)\)。

3. \(\sigma^2\) 的置信区间（当作 \(\mu\) 未知）：

取枢轴量 \(\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \chi^2(n-1)\)，置信区间为 \(\left(\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{\alpha/2}(n-1)},\frac{(n-1)S^2}{\chi^2_{1-\alpha/2}(n-1)}\right)\)。

两个正态总体的情形¶

设 \(X_1,X_2,...,X_{n_1}\) 来自 \(N(\mu_{1},\sigma_{1}^{2})\)，\(Y_1,Y_2,...,Y_{n_2}\) 来自 \(N(\mu_{2},\sigma_{2}^{2})\)，这两个样本相互独立，\(\overline{X}=\frac{1}{n_1}\sum_{i=1}^{n_1}X_i\)，\(\overline{Y}=\frac{1}{n_2}\sum_{i=1}^{n_2}Y_i\)，\(S_1^2\) 和 \(S_2^2\) 分别为它们的样本均值和样本方差，置信度为 \(1-\alpha\)：

• 比较均值（估计 \(\mu_1-\mu_2\)，也称为 Behrens-Fisher 问题）；
• 比较方差（估计 \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\)）；

1. \(\sigma_1^2,\sigma_2^2\) 已知时 \(\mu_1-\mu_2\) 的置信区间：

取枢轴量 \(\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{\sigma_{1}^{2}}{n_1}+\frac{\sigma_{2}^{2}}{n_2}}} \sim N(0,1)\)，置信区间为 \(\left(\overline X - \overline Y\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}\right)\)。

2. \(\sigma_1^2=\sigma_2^2=\sigma^2\) 未知时 \(\mu_1-\mu_2\) 的置信区间：

取枢轴量 \(\frac{(\overline X - \overline Y) - (\mu_1-\mu_2)}{S_\omega\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}\sim t(n_1+n_2-2)\)，置信区间为 \(\left(\overline X - \overline Y\pm t_{\alpha/2}(n_1+n_2-2)S_w\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}\right)\)。

3. \(\sigma_1^2\not =\sigma_2^2\) 且未知时 \(\mu_1-\mu_2\) 的置信区间：

当样本容量 \(n_1\) 和 \(n_2\) 都充分大时（一般要大于 \(50\)），取枢轴量 \(\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_1}+\frac{S_{2}^{2}}{n_2}}} \sim N(0,1)\)，置信区间为 \(\left(\overline X - \overline Y\pm z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}\right)\)。

对于有限小样本，仍取枢轴量 \(\frac{(\overline{X}-\overline{Y})-(\mu_{1}-\mu_{2})}{\sqrt{\frac{S_{1}^{2}}{n_1}+\frac{S_{2}^{2}}{n_2}}}\)，可以证明其近似服从自由度为 \(k\) 的 \(t\) 分布，其中 \(k=\frac{(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2})^2}{\frac{(S_1^2)^2}{n_1^2(n_1-1)}+\frac{(S_2^2)^2}{n_2^2(n_2-1)}}\)，置信区间为 \(\left(\overline X - \overline Y\pm t_{\alpha/2}(k)\sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}\right)\)。

实际使用中，也常用 \(min(n_1-1,n_2-1)\) 近似代替上述自由度 \(k\)。

4. \(\frac{\sigma_1^2}{\sigma_2^2}\) 的置信区间（当作 \(\mu_1,\mu_2\) 未知）：

取枢轴量 \(\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)\)，置信区间为 \(\left(\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)},\frac{S_1^2/S_2^2}{F_{1-\alpha/2}(n_1-1,n_2-1)}\right)\)。

非正态总体参数的区间估计¶

通常把这个非正态分布根据中心极限定理近似成一个正态分布，从而利用上文的方法构造枢轴量，并求解置信区间。

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