Lecture 2 | Red Black Tree & B+ Tree¶

红黑树¶

概念¶

顾名思义，红黑树(Red Black Tree)就是一种节点分类为红黑两色的，比较平衡的二叉搜索树。只不过不同于 AVL 树，红黑树的“平衡”性质是通过黑高(black height)来定义的。接下来依次给出红黑树的定义和黑高的定义。

Red Black Tree

红黑树是满足如下性质的一种二叉搜索树：

Properties of RBTree

@cy's PPT

1. Every node is either red or black.
2. The root is black.
3. Every leaf (NIL) is black.
4. if a node is red, then both its children are black.
5. For each node, all simple paths from the node to descendant leaves contain the same number of black nodes.

ch 老师说，希望我们能把这五条性质熟练记住，怎么可能（逃）。

说明

由于这里的“叶子结点”被重新定义了，为了描述方便，我现在称所有两个子结点都是 NIL 的结点为末端结点（也就是通俗意义上的叶子结点）。而这个定义只是我自己说说的！

@Wiki

1. Every node is either red or black.
2. All NIL nodes (figure above) are considered black.
3. A red node does not have a red child.
4. Every path from a given node to any of its descendant NIL nodes goes through the same number of black nodes.

@OI Wiki

1. 每一个节点要么是红色，要么是黑色；
2. NIL 节点（空叶子节点）为黑色；
3. 红色节点的子节点必须为黑色；
4. 从根节点到 NIL 节点的每条路径上的黑色节点数量相同；

接下来为了加深理解，有一些辨析可以做：

此外，关于红黑树的高，我们有如下性质：

操作¶

同 AVL 树的调整操作类似，红黑树的调整操作也是左右对称的，所以我们也仍然只讨论一侧。

插入¶

我们知道，对黑高有贡献的只有黑色节点，因此 NIL 节点被一个红色节点置换并不会改变一颗红黑树的黑高，因为红色节点还会有一层 NIL 子节点；然而对于红色节点，却有着红色结点互不相邻的限制。

因此，“插入”操作的主要思路就是，先将整个红黑树当作一个普通的二叉搜索树，将目标数据插入到树的末端（也就是置换一个 NIL 节点），并将它染为红色，再调整使之在保证黑高不变的情况下，满足红色节点不能相邻的要求。

现在，我们记这个被插入的节点为 x，任意一个节点 node 的家长节点为 node.p，则：

1. 如果 x.p 是黑色的，那么我们不需要做任何调整；
2. 如果 x.p 是红色的，那么我们需要进行调整；
   • 此时因为原来的树符合红黑性质，x.p.p 必定存在（红 x.p 不能是根）且必定是黑色的；

根据这些讨论，我们就能列举出来一个红色的点被插入后，在 2. 的情况下所有的初始情况，即下面第一张图。

由于红黑树的操作中，有一部分需要进行递归转移，而其中中间步骤出现了很多同构的结构，所以为了简化说明，我们对其进行统一，所有情况都被归纳为上面第二张图。

而第二张图中提到的橙色结点，也就是标为“被插入的红色节点”的结点，实际过程中并不一定指的是被「插入」的那个点，也可能是在 case 1 向上递归时，简化的原来那颗子树。换句话来说，这里的“被插入的红色节点及其子树”，实际上可能是指「导致红黑性质被破坏的红根子树」。

接下来我们来讨论各种情况要怎么处理。

在这三个过程中，我们观察到，只有 case 1 的转化会导致我们递归向上，而 case 2 向 case 3 的转化并不会导致我们改变关注的子树的范围。

为了更清晰地看出各个方法之间的转化关系，于是我们可以画一个状态机：

graph LR;
A["case 1"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D(["finish"])

A ===>|"C"| B --->|"R"| C
A ===>|"C"| A --->|"C"| D
A ===>|"C"| C --->|"C&R"| D

删除¶

关于删除操作，下面这个视频讲的很清晰！只不过 case 1 可能还有些细节需要注意。

👉 红黑树快速入门 - 04删除

要删除某个节点 x，我们首先要找到它，在 BST 中找到某个 x 的开销为 \(O(\log N)\)。接下来我们要删除这个任意位置的节点，这势必让红黑树的结构发生变化。此外，红黑性质的维护也是一个让人头疼的问题，因此，我们对这些情况做分类讨论：

其中，每一项操作都会导致一个点的消失（毕竟是删除），而如果消失的是红色节点，那么将不会影响黑高；而如果消失的是黑色节点，那么将会导致黑高减少一，此时我们需要做进一步操作。

• TODO: 这里需要配图讲清楚节点的具体变换到底是怎么样的，尤其是节点颜色变化到底是怎么一回事，之后大概需要重写

我们根据情况，将情况分为四种：

需要做一下简单说明，类比我们在#插入，在删除过程中也存在需要向上递归的情况。与「被插入的红色节点」类似的，我们这里的「需要被删除的目标点」，也应当被看作「导致调整出现的子树」，更进一步的，可以定义成「由于删除了某个结点，黑高 -1 的子树」，请记住这个定义，这会让之后的递归操作变得自然。

类似于我们在「Insertion / case 3」里提到的“下放”黑节点，删除操作的思路基本上是“上放”黑节点，或者说“吸纳”黑节点。这个“吸纳”的行为，指的是一个黑点，原来只为右子树中的所有路径提供了黑高，现在由于它的 sibling 子树中少了一个黑色节点，我们将这个黑色节点转移到它们的家长节点节点，于是这个节点同时为左右子树的所有路径都贡献了黑高。

接下来我们逐个分析变化：

graph LR;
A1["case 1.1"]
A2["case 1.2"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D["case 4"]
E["finish"]

A1 --->|"C"| E
A2 ===>|"C"| A1
A2 ===>|"C"| A2
A2 ===>|"C"| B
A2 ===>|"C"| C
A2 ===>|"C"| D
C --->|"C&R"| B --->|"C&R"| E
D ===>|"C&R"| A1
D ===>|"C&R"| B
D ===>|"C&R"| C

graph LR;
A["case 1"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D["case 4"]
E["finish"]

A --->|"C\nfrom case 1.1"| E
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| A
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| B
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| C
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| D
C --->|"C&R"| B --->|"C&R"| E
D ===>|"C&R\nto case 1.1 "| A
D ===>|"C&R"| B
D ===>|"C&R"| C

根据前面状态机的相关内容，我们不难得到这张表格，它统计的是 Rotation 在不同数据结构、不同操作中出现的数量：

B+ Tree¶

概念¶

B+ 树是一种用树状形式维护有序数列比较信息的数据结构，其增改操作拥相对于二叉树结构更加稳定的对数时间复杂度，通常用于数据库和操作系统的文件系统中。

抽象地来说就是，我们把一个数列相对均匀的分为 \(m\) 块，然后把分界的数拿出来。当我们去查找或插入时，只需要和这些边界数进行比较，就知道它应该放在哪一块里。再不断细化粒度，用类似于“\(m\) 分”的思想来找到目标位置。

在我看来这个定义非常清晰，就是将整个序列按照不同粒度划分，然后由大到小进行逼近。

操作¶

由于 B+ 树的性质十分自然，所以它的操作从思想层面上来说也非常简单。其更多的难度在于实现上。

此外，在讨论这些操作时，先让我们忽略如何从空建立起一个 B+ 树。

查找¶

和二叉树的查找十分相似，所以这里只模拟一下举个例子。

例如，我们在上面这棵树中找 43 这个值，橙色部分表示我们的焦点。

插入¶

插入的方法也相对朴素简单，就是找到该插入的地方以后插入即可。

只不过需要注意一件事，当这个插入，导致了 B+ 树的性质不再成立时，即导致其家长节点的子节点数量为 \(M+1\) 时，我们需要将这个结点平均分裂成两个，此时显然有两个子树的节点数量都不小于 \(\lceil M+1 \rceil\)。但这还不够，分裂导致家长节点的家长节点的子节点变多，所以我们还得向上递归。

依然是进行一个模拟，我们模拟插入 46 和 44。

激励

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