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[2.x] 随机变量及其概率分布

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随机变量是定义在样本空间 \(S\) 上的实值单值函数。
常用大写字母 \(X,Y,Z\) 来表示随机变量，用小写字母 \(x,y,z\) 表示其取值。

离散型随机变量

离散型随机变量(discrete random variable)
如果随机变量取有限个或可列个值，则此随机变量为离散型随机变量，而若其可能取值为 \(\{x_i\}\)，则称 \(P\{X=x_k\}=p_k\;,\;k=1,2,...\) 为 \(X\) 的概率分布律(probability mass function)，也可以用列表的方式表达。
因为样本空间 \(S=\{X=x_1,X=x_2,\,...\,,X=x_n\,...\,\}\) 中各样本点两两不相容，所以：
\(1=P(S)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}P(X=x_i)=\sum\limits_{i=1}^{+\infty}{p_i}\)

两点分布

如果随机变量 \(X\) 的概率分布律为：

x 0 1
P 1-p p

\[ P\{X=k\}=p^k(1-p)^{1-k}\;,\;\;\;k=0\;or\;1 \]

则称 \(X\) 为服从参数为 \(p\) 的 \(0-1\) 分布，也称为两点分布，并记为 \(X\sim B(1,p)\) 或者 \(X\sim 0-1(p)\)

定义伯努利(Bernoulli)试验为：在 \(n\) 次独立重复试验中，每次只有 \(A\) 和 \(\overline A\) 两种结果，且概率不变，则这一系列试验为伯努利试验。

二项分布

若随机变量 \(X\) 表示 \(n\) 重贝努力实验中事件A发生的次数，其概率分布律为：

\[ P\{X=k\}={\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}\;,\;\;k=0,1,2,...,n \]

则称 \(X\) 为服从参数为 \((n,p)\) 的二项分布(binomial distribution)，并记为 \(X\sim B(n,p)\)

根据二项式定理，二项分布有如下性质：

\[ \sum\limits_{k=0}^n{\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k}=1 \]
  • 如果遇到来自于两点分布的总体的，容量为 \(n\) 的样本的均值 \(\overline X\)，则有 \(n·\overline X=\sum\limits_{i=1}^n X_i \sim B(n,p)\)

泊松分布

如果随机变量 \(X\) 的概率分布律为：

\[ P(X=k)=\frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\;,\;\;\;k=0,1,2,... \]

其中 \(\lambda > 0\)，则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的泊松分布(Poisson distribution)，记做 \(X \sim P(\lambda)\)

当 \(n\) 足够大，\(p\) 充分小(一般要求 \(p<0.1\))，且 \(np\) 保持适当大小时，参数为 \((n,p)\) 的二项分布可以用泊松分布近似描述，其中 \(\lambda = np\)，即：

\[ {\rm C}_n^kp^k(1-p)^{n-k} \sim \frac{e^{-\lambda}\lambda^k}{k!}\;\;\;\;\;(n\rightarrow\infty,p<\varepsilon,\lambda=np) \]

超几何分布

如果随机变量 \(X\) 的概率分布律为：

\[ P\{X=k\}=\frac{{\rm C}_a^k{\rm C}_b^{n-k}}{{\rm C}_{a+b}^n}\;,\;\;\;k=l_1,l_1+1,...,l_2 \]

则称 \(X\) 为服从超几何分布(hypergeometric distribution)，并记为 \(X\sim H(n,a,p)\)

  • 其意义为，如：\(a\) 白球，\(b\) 红球，取 \(n\) 次得到 \(X\) 个白球

如果随机变量 \(X\) 的概率分布律为：

\[ P\{X=k\}=p(1-p)^{k-1}\;,\;\;\;k=1,2,... \]

则称 \(X\) 为服从参数为 \(p\) 的几何分布(geometric distribution)。

连续型随机变量

定义：设 \(X\) 为随机变量，\(x\) 为任意实数，函数 \(F(x)=P\{X\leq x\}\) 为随机变量 \(X\) 的概率分布函数，简称为分布函数(distribution function)。（离散随机变量同样可以有分布函数）

则有以下结论：

\[ P\{x_1<X\leq x_2\}=P\{X\leq x_2\}-P\{X\leq x_1\}=F(x_2)-F(x_1) \]

当 \(X\) 为离散型随机变量时，设 \(X\) 的概率分布律为 \(P\{X=x_i\}=p_i\;,\;\;i=1,2,...\)，则 \(X\) 的分布函数为：

\[ F(x) = P\{X\leq x\}=\sum\limits_{x_i\leq x}P\{X=x_i\} \]

关于 \(F(x)\) 有以下结论：

  1. \(F(x)\) 单调不减；
  2. \(0\leq F(x) \leq 1\) 且 \(F(-\infty)=0\)，\(F(+\infty)=1\)；
  3. \(F(x)\) 右连续，即 \(F(x+0)=F(x)\)；
  4. \(P(a<X\leq b)=F(b)-F(a)\)；

如果对于随机变量 \(X\)，其分布函数为 \(F(x)\)，若存在一个非负的实函数 \(f(x)\)，使对于任意实数 \(x\)，有：

\[ F(x) = \int_{-\infty}^{x}f(t)dt \]

则称 \(X\) 为连续型随机变量，并且称 \(f(x)\) 为 \(X\) 的概率密度函数(probability density function)，简称为密度函数。

关于 \(f(x)\) 有以下结论：

  1. \(f(x) \geq 0\)；
  2. \(\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=1\)；
  3. \(\forall x_1,x_2\in \mathbf{R}\;\;(x_1<x_2)\;,\;\;P\{x_1<X\leq x_2\}=F(x_2)-F(x_1)=\int^{x_2}_{x_1}f(t)dt\)；
  4. 在\(f(x)\) 的连续点 \(x\) 处，\(F'(x)=f(x)\)
  5. \(P\{X=a\} = 0\)，即连续型随机变量任取一个定值的概率为零，因此连续型随机变量落在开区间与相应闭区间上的概率相等；

均匀分布

设随机变量 \(X\) 就有密度函数：

\[ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{b-a}, & x\in(a,b) \\[1ex] 0, & \text{else} \end{cases} \]

则称 \(X\) 服从区间 \((a,b)\) 上的均匀分布，并记为 \(X\sim U(a,b)\)

而得到对应的分布函数为：

\[ F(x)=\begin{cases} 0, & x<a \\[1ex] \frac{x-a}{b-a}, & a\leq x<b \\[1ex] 1, & x\geq b \end{cases} \]

指数分布

若随机变量 \(X\) 具有密度函数：

\[ f(x)=\begin{cases} \lambda e^{-\lambda x}, & x>0 \\[1ex] 0，& x\leq0 \end{cases} \]

也有地方写成这样：

\[ f(x)=\begin{cases} \frac{1}{\theta} e^{-\frac{1}{\theta} x}, & x>0 \\[1ex] 0，& x\leq0 \end{cases} \]

其中 \(\lambda > 0\)，则称 \(X\) 服从参数为 \(\lambda\) 的指数分布(exponential distribution)，记为 \(X\sim E(\lambda)\)

指数分布对应的分布函数为：

\[ F(x)=\int_{-\infty}^{x}f(t)\mathrm{d}t= \begin{cases} 1-e^{-\lambda x}, & x>0 \\[1ex] 0，& x\leq0 \end{cases} \]

指数分布具有无记忆性，即 \(P(X>s | X>t_0)=P(X>s-t_0)\)。

正态分布

如果随机变量 \(X\) 具有密度函数：

\[ f(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}\;, \;\;\; |x|<+\infty \]

其中 \(\sigma>0\;,\;|\mu|<+\infty\) 为常数，则称 \(X\) 服从参数为 \((\mu,\sigma)\) 的正态分布(normal distribution / Gauss distribution)，或者称 \(X\) 为正态变量，记为 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)。

其对应的分布函数为：

\[ F(x)=\int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{-\frac{(t-\mu)^2}{2\sigma^2}}dt \]

在上面出现的式子中，\(\mu\) 为位置参数，决定了分布图像的对称轴位置；\(\sigma\) 为尺度参数，决定了形状，\(\sigma\) 越小，图像越集中。

特别的，当 \(\mu=0\;,\;\sigma=1\) 时，如果记这时的正态变量为 \(Z\)，即 \(Z\sim N(0,1)\) 则它服从标准正态分布(standard normal distribution)。则其密度函数为：

\[ \varphi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}\;, \;\;\;|x|<+\infty \]

则对应的分布函数为：

\[ \Phi(x) = \int_{-\infty}^{x}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{t^2}{2}}dt \]

而对于不是标准正态分布的正态分布，我们可以通过线性变换（标准化）来转换为标准正态分布：

  • 若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(P\{a<X<b\}= P\{\frac{a-\mu}{\sigma}< \frac{X-\mu}{\sigma} < \frac{b-\mu}{\sigma} \}=\Phi(\frac{b-\mu}{\sigma})-\Phi(\frac{a-\mu}{\sigma})\)
  • 特别的：若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(P\{|X-\mu|<k\sigma\} = \Phi(k)-\Phi(-k)=2\Phi(k)-1\)
  • \(3\sigma\) 法则

随机变量函数的分布

如果：

  • \(X\) 为连续型随机变量，且其密度函数为 \(f_X(x)\)；
  • 随机变量 \(Y=g(X)\)；
  • 函数 \(y=g(x)\) 为一严格单调（增/减）函数，并且可微；

则记 \(y=g(x)\) 的反函数为 \(x=h(y)\)，得到 \(Y\) 的密度函数为：

\[ f_Y(y)=\begin{cases} f_X(h(y))·|h'(y)|\;, & y\in D,\\[1ex] 0, & y\not\in D \end{cases} \]
  • 其中 \(D\) 为 \(y=g(x)\) 的值域。

有关正态分布的重要结论：

若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(Y=aX+b \sim N(a\mu+b,a^2\sigma^2)\)

  • 标准化：特别的，若 \(X\sim N(\mu,\sigma^2)\)，则 \(\frac{X-\mu}{\sigma}\sim N(0,1)\)；
  • 即正态分布的随机变量线性变换后正态性不变；
最后更新: 2024年1月18日 13:13:24
创建日期: 2024年1月13日 19:00:24

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