Lecture 5 | Binomial Queue¶

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Binomial Queue¶

堆的其中一个应用就是优先队列。本节要介绍的二项队列(Binomial Queue)也是优先队列的一种实现，只不过不同于之前我们用一个堆维护优先队列，二项队列同时维护了具有不同特征的若干队列。

link

Wikipedia: https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_heap

YouTube: https://www.youtube.com/watch?v=6JxvKfSV9Ns （虽然这个视频是讲解斐波那契堆的，但是中间先讲了二项堆。）

学习建议

在正式开始本节内容之前，请带着这样一个念头：尽力思考二项队列与二进制的关系。

概念¶

二项队列(Binomial Queue)本质上是一系列二项树(Binomial Tree)的集合。所以我们首先给定二项树(Binomial Tree)的定义：

Binomial Tree

二项树满足堆的性质，即 parent 节点的值小于（大于） child 节点的值。

一个非常关键的性质是，\(k\) 阶二项树都是同构的，且 \(k\) 阶二项树是两个 \(k-1\) 阶二项树合并得到的。而其合并方式是直接令其中一棵成为另外一棵的根的新 child，这也决定了二项树的根每一个 child 本身也都是一个二项树。

显然能够得到，二项树并非二叉树；更进一步的，\(k\) 阶二项树 \(B_k\) 的根有 \(k\) 个 child，\(2^k\) 个节点；再进一步的，\(B_k\) 的第 \(d\) 层一共有 \(C_k^d = \binom{k}{d}\) 个节点，有趣的是，所有层的节点加起来刚好符合二项式定理，此条定理可以由数学归纳法很容易地证明，不再赘述。

关于实现

可以发现，二项树是一个 \(N\) 叉树，所以通常我们使用链表 sibling 的形式来表示一个节点的 children。

再对二项树做一个简单的总结，\(k\) 阶二项树结构唯一确定，两个 \(k\) 阶二项树合并后得到一个 \(k+1\) 阶二项树，而二项树本身也具有堆的性质。

但是，虽然二项树具有堆的性质，看似能独立完成优先队列的功能，但是二项树对点的数量具有比较严格的要求，只有点的数量符合 \(2^k\) 时，才能使用二项树表示。因此，观察一个二项树能承载的点的数量特征，我们联想到二进制对数的表示——我们可以用一系列二项树来维护 \(N\) 个节点的优先队列，而具体用几阶二项树，则取决于 \(N\) 的二进制表达中，为 1 的是哪几位。

Binomial Queue

二项队列(Binomial Queue)是一系列二项树(Binomial Tree)的集合，其中每个二项树的阶数 \(k\) 都是不同的，反过来讲这句话，集合中 \(k\) 阶的二项树要么只有一个，要么没有。

🌰

题目实现的二项队列不一定有 min 指针！注意面向题面和选项判断实现。

而为何要这么设计二项队列的结构，具体体现在操作的设计中。

操作¶

在二项队列中，合并是一个非常基础的操作，也是精髓所在。

而为了感受这些操作的精髓，在理解二项队列过程中，可以试图从两个纬度同时理解这些操作：

树/堆的纬度，具体观察数据的转移与变化过程；
二进制的纬度，将 \(k\) 阶二项树抽象为 bit vector 第 \(k\) 位的 1，从二进制加法的角度理解；

为了方便后面阐述，我们简单做一下说明：

特征比特向量

对于一个二项队列，定义它的特征比特向量（我自己口胡的东西，不是术语）是它的元素数量的二进制表示（反过来说，特征比特向量的真值表示队列中的元素数量）。

🌰

例如下图的例子，一共有 11 个节点，其特征比特向量为 1011，刚好对应 \(B_3\) \(B_1\) \(B_0\)。

也就是说，特征比特向量象征了二项队列的集合中有哪几阶的二项树。

队列合并¶

合并两个二项队列，实际上就是合并两个集合，合并过程中，我们分别合并每一个 \(k\) 阶二项树，当两个二项队列都存在 \(k\) 阶二项树时，它们合并为一棵 \(k+1\) 阶二项树。可以联想，这项操作“对应”着特征比特向量的相加，而合并操作则类似于进位。

因此，它就类似于一个 1bit 的全加器。

graph LR;
A(["T1.B[k]"])
B(["T2.B[k]"])
C(["T.carry[k-1]"])
D(["T.result[k]"])
E(["T.carry[k]"])
ADD["Adder"]
A ---> ADD
B ---> ADD
C ---> ADD
ADD ---> D
ADD ---> E

于是，根据一个 carry 位、一个被合并树和一个合并树的情况，有一共 \(2^3=8\) 种可能。

🌰

假设我们现在有这样两个二项队列需要合并：