[3.x] 多元随机变量及其分布¶

联合分布律（Joint Mass Function）
边际分布律（Marginal Mass Function）

• 联合分布律的行/列求和
• \(P(X=x_i)=P(X=x_1,\bigcup_{j=1}^{\infty}(Y=y_j))=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}:=p_{i·}\)；
• \(P( Y=y_j)=P(\bigcup_{j=1}^{\infty}(X=x_i),Y=y_j)=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}:=p_{·j}\)；

条件分布律（Conditional Mass Function）

• \(P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{·j}}\;\;i,j=1,2,...\)；
• \(P\{X<x|Y<y\}=\frac{P\{X<x,Y<y\}}{P\{Y<y\}}\)然后根据联合分布律和边际分布律读表计算；

\(F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}\)为\((X,Y)\)的联合概率分布函数，简称联合分布函数（Joint Distribution Function），其具有如下性质：

1. 固定其中一个变量，则该二元函数关于另外一个变量单调不减；
2. \(0\leq F(x,y)\leq 1\)，且\(F(x,-\infty)=F(-\infty,y)=F(-\infty,-\infty)=0\;,\;F(+\infty,+\infty)=1\)；
3. \(F(x,y)\)关于\(x\)和\(y\)分别右连续（离散）；
4. \(x_1<x_2\;,\;y_1<y_2\)时，有：

\(P\{x_1<X\leq x_2\;,\;y_1<Y\leq y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\geq0\)

• Tips：考虑几何意义！

边际分布函数（Marginal Distribution Function）
\(F_X(x)=P\{X\leq x\}=P\{X\leq x ,Y<+\infty\}=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)为\(X\)关于联合分布函数\(F(x,y)\)的边际分布函数。

• 对\(y\)来说同理

条件分布函数（Conditional Distribution Function）
\(F_{Y|X}(y|x_i)=P\{Y\leq y | X = x_i\}=\lim_{\delta\rarr0^+}P\{Y\leq y|x<X\leq x+\delta \}\)为\(X=x_i\)条件下\(Y\)的条件概率分布函数。

设二元随机变量\((X,Y)\)的联合分布函数为\(F(x,y)\)，若存在二元函数\(f(x,y)\geq0\)，则对于任意的实数\(x\)，\(y\)有\(F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\)，则称\((X,Y)\)为二元连续型随即变量（Bivariate Continuous Random Variable），称\(f(x,y)\)为\((X,Y)\)的联合概率密度函数（Joint Probability Density Function），简称为联合密度函数。 其具有以下性质：

1. \(f(x,y)\geq 0\)；
2. \(F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=F(+\infty,+\infty)=1\)；
3. 在\(f(x,y)\)的连续点上有\(\frac{ \partial^2F(x,y) }{ \partial x\partial y }=f(x,y)\)；
4. \((X,Y)\)落入\(xOy\)平面任意区域\(D\)的概率为：\(P\{(X,Y)\in D\}=\iint \limits_{D} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)；
5. 由于其几何意义为落在以\(D\)为底，以曲面\(z=f(x,y)\)为顶面的柱体体积，所以当\(D\)面积为\(0\)时概率为\(0\)：
6. eg：\(P(X=1,Y=1)=0\)，\(P(X+Y=1)=0\)，\(P(X^2+Y^2=1)=0\)；

（二元）边际概率密度函数（Marginal Probability Density Function），简称边际密度函数。
\(F_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\)

• 在给定\(\{X=x\}\)的条件下，\(Y\)的条件概率密度函数（Conditional Prob-ability Density Function）称为条件密度函数，为\(f_{Y|X}(y|x)=\int^y_{-\infty}\frac{f(x,v)}{f_X(x)}\mathrm{d}v\;,\;\;f_X(x)\not= 0\)；
• \(Y\)同理。

均匀分布
如果二元随机变量\((X,Y)\)在二维有界区间\(D\)上取值，且具有联合密度函数$f(x,y)=\left{ $$\begin{aligned} &\frac{1}{\text{D的面积}},&(x,y)\in D,\\ &0,&\text{其他}. \end{aligned}$$

\right.\(，则称\)(X,Y)\(服从\)D\(上的**均匀分布**。<br />得到：\)P{(X,Y)\in D}=\frac{D_1\text{的面积}}{D\text{的面积}}\;,\;\;\text{且}D_1\subset D$。

正态分布
如果二元随机变量\((X,Y)\)具有联合密度函数\(f(x,y)=\frac{1}{2\pi\sigma_1\sigma_ 2\sqrt{1-\rho^2}}\exp\{\frac{-1}{2(1-\rho^2)}[\frac{(x-\mu)^2}{\sigma_1^2}-2\rho\frac{(x-\mu_1)(y-\mu_2)}{\sigma_1\sigma_2}+\frac{(y-\mu_2)^2}{\sigma_2^2}]\}\)，且有\(|\mu_1|<+\infty,|\mu_2|<+\infty,\sigma_1>0,\sigma_2>0,|\rho|<1\)，则称\((X,Y)\)服从参数为\((\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)的二元正态分布（Bivariate Normal Distribution），记做\((X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)。

• 二维正态分布的两个边际分布都是对应参数的一维正态分布，与\(\rho\)无关。

随机变量的独立性
如果对于任意的两个实数集合\(D_1,D_2\)，有\(P\{X\in D_1,Y\in D_2\}=P\{X\in D_1\}·P\{Y\in D_2\}\)，则称随机变量\(X,Y\)相互独立，即\(X,Y\)独立。
即同时有\(P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}·P\{Y\leq y\}\)，即\(F(x,y)=F_x(x)·F_y(y)\)时，\(X,Y\)独立。

卷积公式
当\(X\)和\(Y\)相互独立时，\(Z=X+Y\)的条件下：

1. \(F_Z(z) = \iint \limits_{x+y\leq z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{z-x}f(x,u-x)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x\)

\(\\ = \int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{z}f(x,u-x)\mathrm{d}u]\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{z}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,u-x)\mathrm{d}x]\mathrm{d}u\)
\(\\=\int_{-\infty}^{z}f_Z(u)\mathrm{d}y\)；

1. 其密度函数公式称为卷积公式：\(f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y\)；

\(M=max(X,Y)\;\;and\;\;N=min(X,Y)\)的分布

• \(F_{max}(z)=P(M\leq z)=P(X\leq z,Y\leq z)\xlongequal{\text{X,Y独立}}P(X\leq z)P(Y\leq z)=F_X(z)F_Y(z)\)；
• \(F_{min}(z)=P(N\leq z)=1-P(N>z)=1-P(X>z,Y>z)\)

\(\xlongequal{\text{X,Y独立}}1-P(X>z)P(Y>z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))\)；

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