[3.x] 多元随机变量及其分布¶

二维离散型随机变量¶

联合分布律¶

• 联合分布律（Joint Mass Function）
  \(P(X=x_i,Y=y_j)=p_{ij}, \; i,j=1,2,\dots\)；

边际分布律¶

• 边际分布律（Marginal Mass Function）是联合分布律的行/列求和；
• \(P(X=x_i)=P(X=x_1,\bigcup_{j=1}^{\infty}(Y=y_j))=\sum_{j=1}^{\infty}p_{ij}:=p_{i·}\)；
• \(P(Y=y_j)=P(\bigcup_{j=1}^{\infty}(X=x_i),Y=y_j)=\sum_{i=1}^{\infty}p_{ij}:=p_{·j}\)；

条件分布律¶

• 条件分布律（Conditional Mass Function）
  \(P\{X=x_i|Y=y_j\}=\frac{P(X=x_i,Y=y_j)}{P(Y=y_j)}=\frac{p_{ij}}{p_{·j}}\;\;i,j=1,2,...\)；
• \(P\{X<x|Y<y\}=\frac{P\{X<x,Y<y\}}{P\{Y<y\}}\)，然后根据联合分布律和边际分布律读表计算；

二维随机变量的分布函数¶

联合分布函数¶

\(F(x,y)=P\{X\leq x,Y\leq y\}\) 为 \((X,Y)\) 的联合概率分布函数，简称联合分布函数（Joint Distribution Function），其具有如下性质：

1. 固定其中一个变量，则该二元函数关于另外一个变量单调不减；
2. \(0\leq F(x,y)\leq 1\)，且 \(F(x,-\infty)=F(-\infty,y)=F(-\infty,-\infty)=0\;,\;F(+\infty,+\infty)=1\)；
3. \(F(x,y)\) 关于 \(x\) 和 \(y\) 分别右连续（离散）；
4. \(x_1<x_2\;,\;y_1<y_2\) 时，有：
   \(P\{x_1<X\leq x_2\;,\;y_1<Y\leq y_2\}=F(x_2,y_2)-F(x_1,y_2)-F(x_2,y_1)+F(x_1,y_1)\geq 0\)

• Tips：考虑几何意义！

边际分布函数¶

\(F_X(x)=P\{X\leq x\}=P\{X\leq x ,Y<+\infty\}=F(x,+\infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\) 为 \(X\) 关于联合分布函数 \(F(x,y)\) 的边际分布函数（Marginal Distribution Function）。

• 对 \(y\) 来说同理。

条件分布函数¶

\(F_{Y|X}(y|x)=P\{Y\leq y | X = x\}=\frac{P\{Y\leq y,X=x\}}{P\{X=x\}}\) 为 \(\{ X=x \}\) 条件下 \(Y\) 的条件分布函数（Conditional Distribution Function）。

进一步推广，若 \(P(X=x)=0\)，但对任意给定的 \(\epsilon\)，\(P(x<X\leq x+\epsilon)>0\)，则在 \(\{ X=x \}\) 条件下，\(Y\) 的条件分布函数为 \(F_{Y|X}(y|x)=\lim_{\epsilon \rarr 0^+}P\{Y\leq y|x<X\leq x+\epsilon \}\)，仍记为 \(P\{Y\leq y | X = x\}\)。

二维连续型随机变量¶

联合密度函数¶

设二元随机变量 \((X,Y)\) 的联合分布函数为 \(F(x,y)\)，若存在二元函数 \(f(x,y)\geq 0\)，则对于任意的实数 \(x\)，\(y\) 有 \(F(x,y)=\int_{-\infty}^x\int_{-\infty}^yf(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\)，则称 \((X,Y)\) 为二维连续型随机变量（Bivariate Continuous Random Variable），称 \(f(x,y)\) 为 \((X,Y)\) 的联合概率密度函数（Joint Probability Density Function），简称为联合密度函数。 其具有以下性质：

1. \(f(x,y)\geq 0\)；
2. \(F(+\infty,+\infty)=\int_{-\infty}^{+\infty}\int_{-\infty}^{+\infty}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v=1\)；
3. 在 \(f(x,y)\) 的连续点 \((x,y)\) 上有 \(\frac{\partial^2F(x,y)}{\partial x\partial y}=f(x,y)\)；
4. \((X,Y)\) 落入 \(xOy\) 平面任意区域 \(D\) 的概率为：\(P\{(X,Y)\in D\}=\iint \limits_{D} f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y\)；
5. 由于其几何意义为落在以 \(D\) 为底，以曲面 \(z=f(x,y)\) 为顶面的柱体体积，所以当 \(D\) 面积为 \(0\) 时概率为 \(0\)；
6. eg：\(P(X=1,Y=1)=0\)，\(P(X+Y=1)=0\)，\(P(X^2+Y^2=1)\not =0\)；

边际密度函数¶

\(f_X(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)dy\) 为边际概率密度函数（Marginal Probability Density Function），简称边际密度函数。

条件密度函数¶

在给定 \(\{X=x\}\) 的条件下，\(Y\) 的条件概率密度函数（Conditional Prob-ability Density Function）为 \(f_{Y|X}(y|x)=\frac{\int^y_{-\infty}f(x,v)\mathrm{d}v}{f_X(x)}=\frac{f(x,y)}{f_X(x)}\;,\;\;f_X(x)\not= 0\)，简称条件密度函数。

• 对 \(Y\) 来说同理。

二维均匀分布与二维正态分布¶

均匀分布

如果二元随机变量 \((X,Y)\) 在二维有界区间 \(D\) 上取值，且具有联合密度函数：

则称 \((X,Y)\) 服从 \(D\) 上的均匀分布。得到：

正态分布

如果二元随机变量 \((X,Y)\) 具有联合密度函数：

且有 \(|\mu_1|<+\infty\)，\(|\mu_2|<+\infty\)，\(\sigma_1>0\)，\(\sigma_2>0\)，\(|\rho|<1\)

则称 \((X,Y)\) 服从参数为 \((\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\) 的二元正态分布（Bivariate Normal Distribution），记做 \((X,Y)\sim N(\mu_1,\mu_2,\sigma_1^2,\sigma_2^2,\rho)\)。

• 二维正态分布的两个边际分布都是对应参数的一维正态分布，与 \(\rho\) 无关。

随机变量的独立性¶

如果对于任意的两个实数集合\(D_1,D_2\)，有\(P\{X\in D_1,Y\in D_2\}=P\{X\in D_1\}·P\{Y\in D_2\}\)，则称随机变量\(X,Y\)相互独立，即\(X,Y\)独立。
即同时有\(P\{X\leq x,Y\leq y\}=P\{X\leq x\}·P\{Y\leq y\}\)，即\(F(x,y)=F_X(x)·F_Y(y)\)时，\(X,Y\)独立。

卷积公式¶

当 \(X\) 和 \(Y\) 相互独立时，\(Z=X+Y\) 的条件下：

1. \(F_Z(z) = \iint \limits_{x+y\leq z}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y=\int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{z-x}f(x,u-x)\mathrm{d}y]\mathrm{d}x = \int_{-\infty}^{+\infty}[\int_{-\infty}^{z}f(x,u-x)\mathrm{d}u]\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{z}[\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,u-x)\mathrm{d}x]\mathrm{d}u =\int_{-\infty}^{z}f_Z(u)\mathrm{d}y\)；

2. 其密度函数公式称为卷积公式：\(f_X*f_Y=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(x)f_Y(z-x)\mathrm{d}x=\int_{-\infty}^{+\infty}f_X(z-y)f_Y(y)\mathrm{d}y\)；

\(M=max(X,Y)\;\;and\;\;N=min(X,Y)\) 的分布：

• \(F_{max}(z)=P(M\leq z)=P(X\leq z,Y\leq z)\xlongequal{\text{X,Y independent}}P(X\leq z)P(Y\leq z)=F_X(z)F_Y(z)\)；
• \(F_{min}(z)=P(N\leq z)=1-P(N>z)=1-P(X>z,Y>z)\xlongequal{\text{X,Y independent}}1-P(X>z)P(Y>z)=1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))\)；

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