Lecture 2 | Red Black Tree & B+ Tree¶

红黑树¶

概念¶

顾名思义，红黑树(Red Black Tree)就是一种节点分类为红黑两色的，比较平衡的二叉搜索树。只不过不同于 AVL 树，红黑树的“平衡”性质是通过黑高(black height)来定义的。接下来依次给出红黑树的定义和黑高的定义。

接下来为了加深理解，有一些辨析可以做：

此外，关于红黑树的高，我们有如下性质：

操作¶

同 AVL 树的调整操作类似，红黑树的调整操作也是左右对称的，所以我们也仍然只讨论一侧。

以及，由于我们并不确定附近的节点是否真的有子节点

插入¶

我们知道，对黑高有贡献的只有黑色节点，因此 NIL 节点被一个红色节点置换并不会改变一颗红黑树的黑高，然而对于红色节点，却有着红色结点不能相邻的限制。

因此，“插入”操作的主要思路就是，先将整个红黑树当作一个普通的二叉搜索树，将目标数据插入到树的末端（也就是置换一个 NIL 节点），并将它染为红色，再调整使之在保证黑高不变的情况下，满足红色节点不能相邻的要求。

现在，我们记这个被插入的节点为 x，任意一个节点 node 的父节点为 node.p，则：

1. 如果 x.p 是黑色的，那么我们不需要做任何调整；
2. 如果 x.p 是红色的，那么我们需要进行调整；
3. 此时因为原来的树符合红黑树的性质，x.p.p 显然是黑色的；

根据这些讨论，我们就能列举出来一个红色的点被插入后，在 2. 的情况下所有的初始情况，即下面第一张图。

由于红黑树的操作中，有一部分需要进行递归转移，而其中中间步骤出现了很多同构的结构，所以为了化简 pipeline，我们对其进行一下统一，也就是上面第二张图。

接下来我们来讨论各种情况要怎么处理。

在这三个过程中，我们观察到，只有 case 1 的转化会导致我们递归向上，而 case 2 向 case 3 的转化并不会导致我们改变关注的子树的范围。

为了更清晰地看出各个方法之间的转化关系，于是我们可以画一个状态机：

graph LR;
A["case 1"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D(["finish"])

A ===>|"C"| B --->|"R"| C
A ===>|"C"| A --->|"C"| D
A ===>|"C"| C --->|"C&R"| D

graph LR;
A(["case 1 (initial)"])
AA["case 1"]
B(["case 2 (initial)"])
BB["case 2"]
C(["case 3 (initial)"])
CC["case 3"]
D(["finish"])

A ===>|"C"| AA ===>|"C"| BB
AA ===>|"C"| AA --->|"C"| D
AA ===>|"C"| CC

A --->|"C"| D
A ===>|"C"| BB --->|"R"| CC
A ===>|"C"| CC --->|"C&R"| D
B --->|"R"| CC
C --->|"C&R"| D

删除¶

关于删除操作，下面这个视频讲的很清晰！只不过我个人感觉它的 case 1 不是很清楚。

👉 红黑树快速入门 - 04删除

首先，如果我们要删除的结点出度为 2（不算 NIL），那么可以将它与左子树的最大值或者右子树的最小值的值互换（颜色不换）；如果要删除的结点出度为 1（不算 NIL），则可以直接用它唯一的非叶子节点替换它。可以证明在二叉搜索树里这些操作是可行的。此时我们要删除的点的所有情况就都被转化到末端结点了，也就是说现在我们要删的结点的两个子节点都是叶结点。

于是，我们把所有情况都转化为了删除末端结点的情况。

接下来我们来考虑这个末端结点的颜色。如果这个末端结点是红色节点，那么我们知道，直接删除这个节点是没有问题的（#插入的第一句话）；而如果这个末端结点是黑色的，那么显然，直接删除是不行的。

因此，现在我们只需要讨论删除一个黑色的末端结点（其两个子节点都是 NIL）该如何操作。

我们根据情况，将情况分为四种：

{ loading=lazy }

需要做一下简单说明，类比我们在#插入，在删除过程中也存在需要向上递归的情况。与「被插入的红色节点」类似的，我们这里的「需要被删除的目标点」，也应当被看作「导致调整出现的子树」，更进一步的，可以定义成「由于删除结点，黑高 -1 的子树」，请记住这个定义，这会让之后的递归操作变得自然。

类似于我们在「Insertion / case 3」里提到的“下放”黑节点，删除操作的思路基本上是“上放”黑节点，或者说“吸纳”黑节点。这个“吸纳”的行为，指的是一个黑点，原来只为右子树中的所有路径提供了黑高，现在通过将黑色转移到父亲节点，同时为左子树的所有路径也提供了黑高。

接下来我们逐个分析变化：

graph LR;
A1["case 1.1"]
A2["case 1.2"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D["case 4"]
E["finish"]

A1 --->|"C"| E
A2 ===>|"C"| A1
A2 ===>|"C"| A2
A2 ===>|"C"| B
A2 ===>|"C"| C
A2 ===>|"C"| D
C --->|"C&R"| B --->|"C&R"| E
D ===>|"C&R"| A1
D ===>|"C&R"| B
D ===>|"C&R"| C

graph LR;
A["case 1"]
B["case 2"]
C["case 3"]
D["case 4"]
E["finish"]

A --->|"C\nfrom case 1.1"| E
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| A
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| B
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| C
A ===>|"C\nfrom case 1.2"| D
C --->|"C&R"| B --->|"C&R"| E
D ===>|"C&R\nto case 1.1 "| A
D ===>|"C&R"| B
D ===>|"C&R"| C

根据前面状态机的相关内容，我们不难得到这张表格，它统计的是 Rotation 在不同数据结构、不同操作中出现的数量：

B+ Tree¶

概念¶

B+ 树是一种用树状形式维护有序数列比较信息的数据结构，其增改操作拥相对于二叉树结构更加稳定的对数时间复杂度，通常用于数据库和操作系统的文件系统中。

抽象地来说就是，我们把一个数列相对均匀的分为 \(m\) 块，然后把分界的数拿出来。当我们去查找或插入时，只需要和这些边界数进行比较，就知道它应该放在哪一块里。再不断细化粒度，用类似于“\(m\) 分”的思想来找到目标位置。

在我看来这个定义非常清晰，就是将整个序列按照不同粒度划分，然后由大到小进行逼近。

操作¶

由于 B+ 树的性质十分自然，所以它的操作从思想层面上来说也非常简单。其更多的难度在于实现上。

此外，在讨论这些操作时，先让我们忽略如何从空建立起一个 B+ 树。

查找¶

和二叉树的查找十分相似，所以这里只模拟一下举个例子。

例如，我们在上面这棵树中找 43 这个值，橙色部分表示我们的焦点。

插入¶

插入的方法也相对朴素简单，就是找到该插入的地方以后插入即可。

只不过需要注意一件事，当这个插入，导致了 B+ 树的性质不再成立时，即导致其父节点的子节点数量为 \(M+1\) 时，我们需要将这个结点平均分裂成两个，此时显然有两个子树的节点数量都不小于 \(\lceil M+1 \rceil\)。但这还不够，分裂导致父节点的父节点的子节点变多，所以我们还得向上递归。

依然是进行一个模拟，我们模拟插入 46 和 44。

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