[5.x] 大数定律及中心极限定理¶

依概率收敛¶

依概率收敛
设\(\{Y_n,n\geq1\}\)为一随机变量序列，\(c\)为一常数。若\(\forall\varepsilon>0\;\;\;s.t. \;\;\lim_{n\to+\infty}P\{|Y_n-c|\geq\varepsilon\}=0\)，则称\(\{Y_n,n\geq1\}\)依概率收敛(Convergence in Probability)于\(c\)，记做\(Y_n\xrightarrow{P} c\;,\;\;n\to+\infty\)。
等价的，也可以将条件写成\(\forall\varepsilon>0\;\;\;s.t. \;\;\lim_{n\to+\infty}P\{|Y_n-c|<\varepsilon\}=1\)。

• 这种收敛不是数学意义上的一般收敛，而是概率意义下的一种收敛
• 其含义是：\(Y_n\)对\(c\)的绝对偏差不小于任何一个给定量的可能性随\(n\)的增大而越来越小；或者绝对偏差\(|Y_n-c|\)小于任何一个给定量的可能性随\(n\)的增大时而越来越接近于\(1\)

依概率收敛有如下重要性质：
若：

1. \(\left\{ \begin{aligned} X_n\xrightarrow{P} a\\ Y_n\xrightarrow{P} b \end{aligned} \right. \;\;,\;\;n\to+\infty\;\;,\;\;a,b\in\mathbf{R}\)；
2. 二元函数\(g(x,y)\)在点\((a,b)\)连续（例如四则运算）；

则有：

• \(g(X_n,Y_n)\xrightarrow{P}g(a,b)\)。

该性质即依概率收敛可以在双目运算符中进行下放。

马尔可夫(Markov)不等式
若随机变量\(Y\)的\(k\)阶（原点）矩存在（\(k\geq1\)），则\(\forall \varepsilon > 0\)，有：
\(P \{ |Y| \geq \varepsilon \}\leq \frac{E(|Y|^k)}{\varepsilon^k}\;\; or \;\; P\{|Y| < \varepsilon \} \geq 1 - \frac{E(|Y|^k)}{\varepsilon^k}\) 特别地，当\(Y\)取非负值的随机变量且它的\(k\)阶矩存在时，有：\(P\{Y\geq \varepsilon\} \leq \frac{E(Y^k)}{\varepsilon^k}\)

切比雪夫(Chebyshev)不等式是马尔可夫不等式的推论
若随机变量\(X\)的数学期望和方差存在，分别记\(E(X)=\mu\;,\; Var(X) = \sigma^2\)，则\(\forall \varepsilon > 0\)，有：
\(P\{ |X-\mu|\geq \varepsilon \} \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\;\;or\;\;P\{ |X-\mu|< \varepsilon \} \geq1- \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\) 可以记忆为\(P\{ \sigma^2\geq \varepsilon^2 \} \leq \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\;\;or\;\;P\{ \sigma^2< \varepsilon^2 \} \geq1- \frac{\sigma^2}{\varepsilon^2}\)

大数定理¶

• 主要讨论什么条件下，随机变量序列的算术平均依概率收敛到其均值的算术平均。

大数定理（一般形式）
设\(\{Y_i,i\geq1\}\)为一随机变量序列，若存在常数序列\({c_n,n\geq 1}\)，使\(\forall \varepsilon > 0\)，有;
\(\lim_{n\to+\infty}P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i-c_n|\geq \varepsilon\}=0 \;\; or \;\; \lim_{n\to+\infty}P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i-c_n|< \varepsilon\}=1\) 即：\((\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i-c_n)\xrightarrow{P}0\;\;,\;\;n\to+\infty\)，则称随机变量序列\(\{Y_i,i\geq1\}\)服从弱大数定理(Weak Law of Large Numbers)，简称服从大数定律。
观察到如果令\(Z_n=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}Y_i\)，则表达式的含义为\(Z_n\xrightarrow{P}c\;\;,\;\;n\to+\infty\)，即大数定律也可以表述为：

• 随机变量序列前\(n\)个变量的算术平均依概率收敛于\(c\)， 则这个随机变量序列服从大数定律。

橙书给出的定义式是：
\(\lim_{n\to \infty}P\big(\big| \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}E(X_i) \big|<\varepsilon\big)=1\)

• 接下来给出的大数定律的区别体现在条件上：有些是相互独立的随机变量，有些是相依的随机变量，有些是同分布的随机变量，有些是不同分布的随机变量。

伯努利(Bernoulli)大数定律
设\(n_A\)表示\(n\)重贝努力实验中事件\(A\)发生的次数，并记\(P(A)=p\)，则\(\forall \varepsilon > 0\)，有：
\(\lim_{n\to+\infty}P\{|\frac{n_A}{n}-p|\geq \varepsilon\}=0\)

辛钦(Khinchin)大数定律
*即使随机变量的方差不存在，期望存在即可
设\(\{X_i,i\geq 1\}\)为独立同分布的随机变量序列，且数学期望为\(\mu\)，则\(\forall\varepsilon>0\)，有：
\(\lim_{n\to+\infty}P\{|\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i-\mu|\geq \varepsilon\}=0\;\;\;or\;\;\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}X_i\xrightarrow{P}\mu\;\;,\;\;n\to+\infty\)

辛钦大数定律有如下推论：
设\(\{X_i,i\geq 1\}\)为独立同分布的随机变量序列，若\(h(x)\)为连续函数，且\(E(|h(X_1)|)<+\infty\)，则\(\forall\varepsilon>0\)，有：
\(\lim_{n\to+\infty}P\{|\frac{1}{n}\sum^{n}_{i=1}h(X_i)-a|\geq\varepsilon\}=0\;\;\;or\;\;\;\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}h(X_i)\xrightarrow{P}a\;\;,\;\;n\to+\infty \\ where\;\;\;a=E(|h(X_1)|)\)

中心极限定理¶

• 讨论什么条件下，独立随机变量和的分布函数\(Y=\sum X_i\)的分布函数会收敛于正态分布。

独立同分布时¶

林德伯格-莱维中心极限定理
设\(\{X_i,i\geq 1\}\)为独立同分布的随机变量序列，且\(E(X_i)=\mu\;\;,\;\;Var(X_i)=\sigma^2\;\;(\sigma>0)\)，则\(\forall x\in \mathbf{R}\)，有：

换句话来说，\(E(X_i)=\mu\;\;,\;\;Var(X_i)=\sigma^2\;\;(\sigma>0)\)的独立同分布的随机变量序列的部分和\(\sum_{i=1}^{n}X_i\)的标准化量

，当然也可以写成：

二项分布的正态近似¶

林德伯格-莱维中心极限定理有如下推论：
棣莫弗-拉普拉斯中心极限定理
设\(n_A\)表示\(n\)重贝努力实验中事件\(A\)发生的次数，并记\(P(A)=p\)，则

独立不同分布时(不要求)¶

李雅普诺夫中心极限定理
设\(\{X_i,i\geq 1\}\)为相互独立的随机变量序列，且\(E(X_i)=\mu_i\;\;,\;\;Var(X_i)=\sigma_i^2\;\;(\sigma>0)\)，若\(\exists\varepsilon>0\)使得：
\(\lim_{+\infty}\frac{1}{B_n^{2+\varepsilon}}\sum_{i=1}^{n}E|X_i-\mu_i|^{2+\varepsilon}=0\;\;\;where\;\;\;B_n^{2}=\sum_{i=1}^{n}\sigma_i^2\) 则：
$$\lim_{n\to+\infty}P\{ \frac{1}{B_n} \sum_{i=1}^n(X_i-\mu_i)\leq x \} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{x}e^{-\frac{t^2}{2}}\mathrm{d}t=\Phi(x)$$

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